About

Sabtu, 19 Mei 2012

lingkaran

10.58    No comments


Dalam geometri Euklid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.
Elemen lingkaran
Elemen-elemen yang terdapat pada lingkaran, yaitu :
  • Elemen lingkaran yang berupa titik, yaitu :
    1. Titik pusat (P)
      merupakan titik tengah lingkaran, dimana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap.
  • Elemen lingkaran yang berupa garisan, yaitu :
    1. Jari-jari (R)
      merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.
    2. Tali busur (TB)
      merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda.
    3. Busur (B)
      merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.
    4. Keliling lingkaran (K)
      merupakan busur terpanjang pada lingkaran.
    5. Diameter (D)
      merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
    6. Apotema
      merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.
  • Elemen lingkaran yang berupa luasan, yaitu :
    1. Juring (J)
      merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
    2. Tembereng (T)
      merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.
    3. Cakram (C)
      merupakan semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.
Persamaan
Suatu lingkaran memiliki persamaan
Description: (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \!
dengan Description: R\!adalah jari-jari lingkaran dan Description: (x_0,y_0)\!adalah koordinat pusat lingkaran.
Jika pusat lingkaran terdapat di Description: (0,0) \!, maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai
Description: x^2 + y^2 = R^2 \!
Bentuk persamaan lingkaran dapat dijabarkan juga menjadi bentuk
Description: x^2 + Ax + y^2 + By + C = 0 \!
dengan Description: \sqrt{\frac{A^2 + B^2}{4} - C} \!adalah jari-jari lingkaran dan Description: (- \frac{A}{2}, -\frac{B}{2}) \!adalah koordinat pusat lingkaran. Bentuk persamaan tersebut dikenal sebagai bentuk umum persamaan lingkaran.
Persamaan parametrik
Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik, yaitu
Description: x = x_0 + R \cos(t) \!
Description: y = y_0 + R \sin(t) \!
yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.
Luas lingkaran
Description: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ce/Circle_Area.svg/150px-Circle_Area.svg.png
Description: http://bits.wikimedia.org/skins-1.20wmf1/common/images/magnify-clip.png
Luas lingkaran
Luas lingkaran memiliki rumus
Description: A = \pi R^2 \!
yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran
Description: dA = rd\theta\ dr
dalam koordinat polar, yaitu
Description: \int dA = \int_{r=0}^R \int_{\theta=0}^{2\pi} rd\theta\ dr = \int_{r=0}^R rdr \int_{\theta=0}^{2\pi} d\theta = \frac 1 2 (R^2-0^2) \ (2\pi-0) = \pi R^2 \!
Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam Description: R_1\!dan jari-jari luar Description: R_2\!.
Penjumlahan elemen juring
Description: Area of a circle.svg
Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R yaitu jari-jari lingkaran.
Luas juring
Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ, yaitu;
Description: A(R,\theta) = \frac 1 2 R^2 \theta \!
dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 3π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.
Luas cincin lingkaran
Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam Description: R_1\!dan jari-jari luar Description: R_2\!, yaitu
Description: A_{cincin} = \pi (R_2^2 - R_1^2) \!
di mana untuk Description: R_1 = 0\!rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.
Luas potongan cincin lingkaran
Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh
Description: A_{potongan\ cincin} = \frac \pi 2 (R_2^2 - R_1^2) \theta \!
yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.
Keliling lingkaran
Keliling lingkaran memiliki rumus:
Description: K = 2\pi R\!
Panjang busur lingkaran
Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus
Description: L = R \theta \!
yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva
Description: dL = \int \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx}\right) ^2 } dx \!
di mana digunakan
Description: y = \pm \sqrt{R^2 - x^2} \!
sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda Description: \pmmengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.
π(Pi)
Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:
Description: \pi = \frac K D

0 komentar:

Posting Komentar

My Blog List

Islam News

Islam News

Search This Blog